Partial Differential Equation (PDE) Approach in Real Option Valuation

Dari pembahasan sebelumnya, model klasik untuk perhitungan Real Options dikembangkan oleh Paddock, Siegel & Smith (1988) dan McDonald & Siegel (1986), dimana pendekatannya dikenal dengan pendekatan finite difference atau persaman partial differential (Partial Differential Equation/PDE)

Model ini mengasumsikan bahwa discounted net cash flows akan mengikuti pergerakan Geometric Brownian sebagaimana rumus dibawah ini:

V: discounted net cash-flows;
σ: volatility dari V;
α: expected rate dari capital gain pada project tsb; α = µ-δ;
µ: expected return dari hasil kepemilikan project tsb;
δ: opportunity cost jika menunda project tsb;
dz: peningkatan standard winner process

Partial differential equation (PDE) yang sesuai dengan nilai opsi utk developmen option value (spt American call option) adalah:

Persamaan 1


F = nilai option utk development
R = risk free rate.

Nilai F(V) harus memenuhi kondisi-kondisi sebagai berikut :
(1) F(0) = 0
(2) F(V*) = V* - I
(3) F’(V*) = 1

Jika American call option adalah perpetual, maka nilai opsi ini tidak tergantung dengan waktu, sehingga turunan partial terhadap waktu (t) akan nol (Beliossi, 1996). Jadi, PDE diatas akan berkurang ke persamaan homogeneous differential sebagai berikut

Persamaan 2.

Dalam persamaan ini spt persamaan sebelumnya, F(V) harus memenuhi kondisi-kondisi seperti diatas.

Kondisi pertama muncul jika nilai project V adalah nol, maka nilai opsi untuk investasi akan tidak bernilai. Dua kondisi lainnya datang dari pertimbangan adanya investasi yang optimal. Kondisi kedua adalah kondisi “matching” dimana perusahaan akan menerima net payoff sebesar V* - I atas investasi yang dilakukan.
Kondisi ketiga adalah kondisi “smooth pasting” dimana ini merupakan turunan pertama dari kondisi kedua.
Untuk menemukan F(V), kita harus memecahkan persamaan (2) dengan kondisi 1 sampai 3 yang harus dipenuhi

Dalam memecahkan persamaan 2, Pyndick (1996) membuat perkiraan fungsi yang cocok dengan kondisi pertama yaitu :

Dimana A adalah konstanta dan β > 1 adalah konstanta yang diketahui yang nilainya tergantung pada parameter σ, δ, dan r . Dengan memasukkan persamaan 3 ke syarat kondisi 2, maka :



Pemecahan untuk mendapatkan β


Dari persamaan (2) didapat :

Diketahui

Gambar 1: Fundamental Quadratic

Dari penurunan diatas maka dapat diringkas bahwa solusi untuk F(V) adalah

Pada kondisi V lebih kecil dari V* dan (V – I) lebih kecil dari F(V) yaitu ketika ”exercise value” karena mengeksekusi saat ini lebih kecil dibandingkan ”hold value” karena tidak mengeksekusinya, maka investor harus menunda project development tersebut.
Pada kondisi V lebih besar dari V* dan (V - I) lebih besar dari F(V), maka company harus mulai segera untuk mendevelop project tersebut..

Gambar 2. Optimal Investment Decision

Penentuan opportunity loss akibat menunda project

Dalam tulisan Paddock, Siegel and Smith (1988), penentuan opportunity loss δ, didefinisikan sebagai berikut:
γt: fraksi minyak yang diproduksi tiap tahun,
πt: net profit per barrel,
Wt: unit value of developed reserve (per barrel).

Jika,

Mt: crude oil price at the date t,
OCt: one-barrel production cost at the date t,
DAt: depreciation per barrel at the date t,
T: corporate rate.

Maka πt didefinisikan sebagai berikut :

πt = Mt - OCt - T ( Mt - OCt - DAt )
= Mt - xt Mt - T (Mt - xt Mt - yt Mt )
= Mt ( 1 – xt ) - T Mt ( 1 – xt – yt )

Dimana

Gruy dan Wood (1982) mengasumsikan bahwa Wt = 1/3 Mt, maka:

Beliossi (1996) melakukan pendekatan lain untuk menentukan opportunity loss δ dimana tidak seperti Gruy dan Wood, belliosi memperkenalkan ratio p untuk membandingkan harga pasar minyak dan harga developed reserve sebagaimana rumus dibawah ini.

p = ratio of market price of oil per barrel/market value of a developed reserve
Sehingga rumus δ diatas akan menjadi :