Dispersion Fits

The same dispersion that fits into the dispersive discovery model and reserve growth gives the climate change deniers a different type of fits.

I looked at Wharf Rat's analysis and it features some relatively straightforward assumptions.

In general I think the standard premise of "dispersion" of time constants in climate change has the same validity on oil depletion analysis. Not only does dispersion play an effect on discovery profiles and reserve growth, but it also plays a key role in the log-normal distribution of reservoir sizes¹. For climate change, remember that not one single time constant rules over the temperature time series that the data analysts pour over. Interestingly, the dispersion has positive effects on oil resources, in that it leads to greater reserves than we may currently believe, but the same effect has negative consequence as the longer time scales in GW analysis lead to lags in heating that deniers such as Steven Schwartz evidently miss completely, and non-skeptical sorts like jrwakefield (a troll commenter on TOD) gobble up.

The deniers don't understand the math and it gives them fits.

---

¹ The USGS analysts that did the following study on crystal growth mechanisms may or may not know that their analysis has a strong analogy to reservoir growth. Millions of years ago, the dispersion in growth rates of primordial reservoirs caused the log-normal distribution of discovery sizes we see today. The math shakes out rather straightforwardly and I will try to show a derivation in the near future.

The evolution of the shape of a crystal size distribution (CSD) can be used to infer growth laws for crystals. For example, the often assumed constant growth rate law (dX/dt=k, where X is crystal diameter, t is time, and k is a constant) is unrealistic in most systems because it causes the variance of the CSD to approach 0 during growth, and because it destroys the shape of commonly occurring lognormal CSDs. Conversely, proportionate growth models (dX/dt=kX) best describe the evolution of CSDs in most systems. This law can be derived from a modified version of the Law of Proportionate Effect (LPE: X(j+1)=X(j) + v(j)e(j)X(j), where j refers to the growth cycle or time interval, v is a function of the proportion of the total volume of material available for each crystal for each growth cycle, and e is a random number that varies between 0 and 1). When v is large with respect to X, as is the case immediately after nucleation, the variance of the CSD increases with mean diameter and a lognormal CSD results. However, as X grows larger with respect to v, the variance remains constant as the mean crystal diameter increases, and the proportionate growth law is approximated. Simulating crystal growth by LPE using the Galoper computer program leads to some surprising conclusions, several of which have been confirmed by experiment: (1) If a small crystal doubles in diameter, a large crystal in the same system also will tend to double in diameter during the same time interval, even though such growth involves adding much more volume to the larger crystal; (2) Crystal growth has a random component (e), which indicates that one can not predict accurately the growth rate for individual crystals, but only for the distribution of crystals. This inherent randomness also accounts for crystal growth dispersion; (3) The relative shape of a CSD generally is determined soon after nucleation, and then is maintained during proportionate growth; (4) Crystal growth appears to occur in nanometer-size jumps, rather than continuously with time; and, (5) Proportionate growth occurs when reactants are supplied to the crystal surface by advection under stirred conditions, whereas constant growth is favored when supply is by diffusion under stagnant conditions.

Dispersive Diffusion model of Reserve Growth

I assert that we can explain the enigma of reserve growth of oil reservoirs by some simple physical considerations together with the dispersive formulation of growth rates.

Most of the observed growth seems to follow a "parabolic"¹ growth law that intuitively follows from the mathematics behind diffusion. The characteristic solution to diffusive growth as described by Fick's law shows an increase proportional to the square-root of time. Considering that one could model an arbitrary reservoir with a semi-permeable membrane that increases thickness with time, to first-order any concentration gradient across the thickness would show the characteristic square-root growth dependence.

However, we know that this growth law cannot sustain itself. We live in a finite universe, but the boundary conditions of Fick's law assume an infinite supply to draw from, leading to a theoretically infinite growth. And contrary to the perpetualist notion of an infinite supply of oil, we know that we should apply some type of boundary condition to reserve growth. But how do we do that?

A couple of years ago I tried computing a numerical solution to a self-limiting parabolic growth law. This seemed to fit the data effectively (see the figure above), but it seemed to veer toward Occam's territory a bit too much. A better, and more statistically and physically pleasing approach would include some considerations of the dimensionality of the reservoir volume and a maximum entropy spread in possible values for diffusive growth.

These actually fits the bill for a variation of dispersive growth with boundary conditions. By replacing a power-law growth rate in the original dispersive discovery model with a fractional (i.e. square-root) rate, we obtain the same "parabolic" growth curve initially -- but it also hits an asymptote related to the fixed volume defined by the L₀ parameter. Note the parabolic term in the growth law in the figure below.


The set of curves for various growth laws (both fractional power and integral power) looks like the following:


I can't tell whether the data values match the fractional power-law of 0.5 (square-root) or 0.6 better, but the general trend demonstrates itself effectively.

The green curve shows the 0.6 power-law, and both 0.5 and 0.6 curves reach an asymptote of 15. The asymptotic value obviously stays below infinity but it also approaches a value higher than the self-limiting numerical solution (see also that USGS's Attanasi and Root have extrapolated to a value near this but give no asymptote).

Khebab from TOD and Graphoilogy has incorporated some of the Arrington,Verma reserve growth models to extrapolate the shock model and its hybrid variant to enable predictive forecasts. This model may help that particular analysis because of its finite asymptote and closed form solution.

I can imagine that this model should also have some applicability to the analysis of creaming curves, where the important goal remains to identify the asymptote. Peak oil contrarians such as Michael Lynch continue to have a field day in criticizing creeping increases in creaming curves -- without a good model, I can imagine he has a point. Until now.

---

¹A bit of a misnomer, "parabolic" refers to the growth in time with thickness, not thickness with time, which would lead to proportional square-root growth. Blame Andy Grove of Intel.

Real Options versus Discounted Cash Flow Method

Selama ini metode Real Options (RO) sering dianggap merupakan alternatif bagi metode DCF dengan memasukkan unsur fleksibilitas manajemen dalam menghadapi uncertainty kedepan. Secara teori sebenarnya ada perbedaan yang mendasar antara DCF dan RO.

Pada waktu ditemukannya rumus perhitungan stock options di tahun 1970 oleh Black, Scholes dan Merton, kunci inovasi yang mereka lakukan adalah

1. Untuk memperhitungkan adanya uncertainty digunakan model kuantitatif yang dinamis (dynamic quantititive model)
2. Risiko akibat adanya uncertainty diperhitungkan langsung pada sumber (variable) yang menyebabkan uncertainty tersebut.

Teori yang digunakan oleh mereka dikenal dengan “Law of One Price” dimana dalam pada asset cash flow yang sama maka nilai assetnya akan sama juga, dengan mengasumsikan bahwa tidak ada “transaction cost” dalam pasar keuangan.

Salah satu prinsip dalam “Law of One Price” adalah “additivity of value” dimana asset dapat dibagi menjadi bagian-bagian kecil yang dinilai serta nilai-nilai tersebut dapat ditambahkan kembali. Dengan membaginya menjadi bagian yang lebih kecil, maka kita dapat memisahkan risiko terhadap uncertainty yang ada pada suatu variabel dan waktu.

Dengan demikian “optionality” bukan issue penting dalam penemuan stock options tetapi yang menjadi issue penting adalah bahwa penilaian asset yang kompleks dapat dilakukan dengan melakukan kombinasi dinamis dari asset-asset yang lebih sederhana.

Untuk memberikan gambaran bagaimana pendekatan RO berbeda dengan DCF, mari kita lihat pembahasan berikut ini.

DCF versus RO

Perbedaan mendasar dari dua metode ini adalah bagaimana pendekatannya dalam mempertimbangkan faktor risiko terhadap cash flow suatu project

Dalam DCF, pendekatannya adalah dengan menggunakan satu discount factor yang merupakan gabungan antara faktor risiko atas uncertainty dan waktu, dimana discount factor ini yang akan digunakan untuk menghitung Net Present Value dari cash flow suatu project.

Sedangkan dalam RO, pendekatan ini berusaha memisahkan faktor-faktor diatas yaitu risiko atas uncertainty dan waktu.

Risiko atas uncertainty tersebut akan diaplikasikan ke setiap sumber (variable) sehingga akan didapat cash flow yang sudah diberi faktor risiko, sebelum akhirnya cash flow ini diberi faktor risiko atas waktu untuk mendapatkan NPV versi RO ini.

Skema dibawah ini memperlihatkan gambaran perbedaan antara DCF dan RO

Fig.1 Perbedaan antara DCF dan RO (Samis et all, 2006)

Dari skema diatas terlihat perbedaannya sangat kecil tetapi mempunyai implikasi yang penting dalam melakukan penilaian suatu project.

Simple Calculation

Untuk memperlihatkan bagaimana menghitung secara RO dan DCF, mari kita lihat gambar dibawah ini.

Diasumsikan, bahwa hanya ada satu faktor uncertainty yang mempengaruhi suatu project perminyakan yaitu harga minyak. Untuk itu harga minyak akan didiscount dengan faktor risiko atas adanya uncertainty.

Fig.2. Simple Example - DCF vs RO (Samis et all, 2006)

Gambar diatas memperlihatkan bahwa expected revenue diperoleh dengan mengalikan harga minyak, E[S], dengan oil production. Opex dan Capex dikurangi dari revenue untuk mendapatkan net cash flow. Dalam DCF, Present Value (PV) dihitung dari cash flow ini dengan mengaplikasikan discount rate yang merupakan gabungan antara risiko thd uncertainty dan waktu

Dalam RO, harga minyak akan dikalikan lebih dulu dengan faktor risiko thda uncertainty untuk mendapatkan adjusted risk oil price, E_RA[S]. Kemudian mengalikan harga minyak ini dengan oil production untuk mendapatkan risk adjusted asset revenue. Dengan mengurangkan Opex dan Capex, net cash flow yang telah dihasilkan akan didiscount dengan risk free interest rate yang mempertimbangkan faktor risiko terhadap waktu saja.

Adjusted risk oil price dalam contoh metode RO diatas akan sama dengan instrument derivative di pasar keauangan yaitu forward price untuk crude oil, dimana forward price utk komoditas selalu sama atau lebih rendah dengan expected spot prices, the risk discount factor, E_RA[S]/ E[S], selalu diantara 1 dan 0.

Sebagai catatan untuk beberapa komoditas energi, futures prices, bias dianggap sama dengan forward price dengan mengasumsikan bahwa risk free interest rate adalah deterministic (M. Samis et al, 2006)

Karakteristik Tiap Project

Dalam dunia nyata, suatu project biasanya akan berbeda dengan poject lainnya karena masing-masing project mempunyak karakteristik dan keunikannya sendiri-sendiri.

Kasus dibawah ini akan memberikan gambaran bagaimana dua field yang berbeda biaya produksinya akan mempunyai karakteristik yang berbeda dalam lingkungan dinamis

Fig 3. Cash Flow Volatility - High Cost vs Low Cost Oil Field

Misal saat ini (t=0) harga minyak $50/bbl, ekspetasi kita pada tahun depan harga minyak masih tetap berada pada $50/bbl. Berdasarkan data historis harga minyak sebelumnya tingkat volatilitas sebesar 20%. Berdasarkan ini, kita mempunyai uncertainty tahun depan bahwa harga akan naik sebesar 20% menjadi $60/bbl atau akan turun sebesar 20% menjadi $40/bbl.

Tahun depan ada dua project yang akan berproduksi dimana project pertama high cost field dan project kedua low cost field. Jika ekspektasi harga tahun depan masih sama yaitu $50/bbl maka kedua field itu akan memberikan net cash flow yang sama pada tahun pertama yaitu sebesar $ 4,000. Namun adanya uncertainty pada tahun depan, net cash flow yang dihasilkan akan berbeda rangenya dimana High cost field akan memberikan tingkat volatility sebesar 50% lebih tinggi dibandingkan Low cost field sebesar 20%. Hal ini sangat sesuai dengan realitas yang ada, bahwa pada project field yang biaya produksinya lebih tinggi atau mempunyai margin yang lebih kecil, maka project ini lebih sensitive (lebih berisiko) jika terjadi uncertainty terhadap harga minyak di masa depan.

RO method in differencing project’s uniqueness

Adanya pemisahan faktor risiko terhadap uncertainty dan waktu pada metode RO, bermanfaat untuk melihat karakteristik tiap project.

Kita akan ambil kasus yang sama dengan kasus sebelumnya untuk melihat karakteristik project yang mempunyai biaya produksi yang berbeda.

Diasumsikan sebagai berikut :

Dengan menggunakan metode DCF dan asumsi harga minyak $50/bbl, maka PV pada masing-masing project sebagai berikut :

Perhitungan DCF dilakukan dengan menggunakan rumus PV continue yaitu sebagai berikut :

- High cost field = 1000*exp(-15%) = 861

- Low cost field = 2000*exp(-15%) = 1,721

Hal ini akan berbeda hasilnya dengan metode RO dimana seperti terlihat pada table dibawah, harga minyak yang digunakan adalah oil forward price yang merupakan discount dari harga minyak sebelumnya karena mempertimbangkan adanya risiko atas uncertainty terhadap variable ini kedepan.

Perhitungan RO diatas dlakukan dengan PV continue yaitu sebagai berikut :

- High cost field = 616*exp(-7%) = 574

- Low cost field = 1,616*exp(-7%) = 1,506

Untuk melihat effective risk and time discount rate dari masing-masing metode dapat digunakan rumus sebagai berikut :

RO DCF

- High cost field : ln(574/1,000) = 55.52% ln(861/1,000) = 15.00%

- Low cost field : ln(1,506/ 2,000)= 28.35% ln(1,721/ 2,000)= 15.00%

Disini DCF yang menanggap kedua project tersebut sama yaitu 15%, sedangkan RO menganggap itu berbeda.

Conclusion

Dari contoh-contoh diatas terlihat bahwa Real Options tidak hanya sekedar memasukkan unsur fleksibilitas management didalam perhitungan suatu project tetapi secara teori meski tidak ada “optionality”, metode ini menilai uncertainty langsung kepada source (variable) –nya dan melakukan perhitungan dengan model kuantitatif dinanmis (dynamic quantitative model).

Southwest of Papua